Πόσοι κόκκοι άμμου απαιτούνται για να καταλάβουν τον συνολικό όγκο του σύμπαντος;

04-02-2015
 
Submit to FacebookSubmit to TwitterSubmit to Google PlusSubmit to StumbleuponSubmit to Delicious

Ο Αρχιμήδης (-287 έως -212) ήταν ένας Έλληνας Συρακούσιος ο οποίος συνεισέφερε σε θεμελιώδεις τομείς των μαθηματικών, της φυσικής και των μηχανικών τεχνών σε καθοριστικό βαθμό για την μετέπειτα εξέλιξη των επιστημών αυτών. Είναι πιθανό ότι χωρίς τα μικρά αποσπάσματα που είχαν απομείνει από τα έργα του και το περίφημο παλίμψηστο χειρόγραφο οι ανακαλύψεις του Γαλιλαίου και του Νεύτωνα, κύριων συντελεστών της Επιστημονικής Επανάστασης, να ήταν κατά πολύ φτωχότερες. Είναι κυρίως γνωστός για την ανακάλυψη του Νόμου της Άνωσης των βυθιζόμενων σωμάτων, την εισαγωγής της έννοιας της ροπής στη στατική, την εφαρμογή των κατόπτρων ανάκλασης του ηλιακού φωτός ως επιτυχέστατου πολεμικού όπλου κατά την πολιορκία των Συρακουσών, την εκτεταμένη χρήση των μοχλών, τις μετρήσεις των εμβαδών και των όγκων της σφαίρας και του κυλίνδρου, τη συνδυαστική τοπολογία μιας σειράς ακανόνιστων τμημάτων μιας τετραγωνικής επιφάνειας υπό τη μορφή tangram και την πρώτη σαφή διατύπωση του απειροστικού λογισμού.

Εδώ θα παρουσιάσω μια πολύ συγκεκριμένη και άγνωστη στο πλατύ κοινό μελέτη του, τον ‘Ψαμμίτη’ ή ‘Άμμου Καταμέτρη’, όπου επιχειρεί να υπολογίσει τον αριθμό των κόκκων άμμου που θα καταλάμβαναν τον συνολικό όγκο του Σύμπαντος. Όλοι τότε θεωρούσαν ότι ένας τόσο μεγάλος αριθμός δεν μπορεί να υπάρχει και να αναπαρασταθεί. Αντίθετα ο Αρχιμήδης θεωρούσε ότι όσο μεγάλο και να είναι ένα πλήθος πραγμάτων είναι οπωσδήποτε δυνατόν να εκτιμηθεί και να αναπαρασταθεί μέσω των Μαθηματικών. Στην κατεύθυνση αυτή άρχισε να ασχολείται με την αναπαράσταση μεγάλων αριθμών, φτάνοντας σε έναν τόσο γιγαντιαίο αριθμό που είναι εντελώς αδιανόητος ακόμη και με τα σημερινά μέτρα.

Ο μεγαλύτερος χρησιμοποιούμενος αριθμός εκείνη την εποχή ήταν η λεγόμενη μυριάδα, δηλαδή το 10.000 ή με τη σημερινή ορολογία 104 ( το 10 υψωμένο στην 4η). Ο Αρχιμήδης εισήγαγε στη συνέχεια τη λεγόμενη ‘μυριάδα μυριάδων’, δηλαδή το 10.000 x 10.000 ή αλλιώς 108 (10 στην 8η). Ο αριθμός αυτός, το 108, αποτέλεσε τη βάση του αριθμητικού του συστήματος, που θα περιέγραφε αριθμούς που θα ξεπερνούσαν σε μέγεθος κάθε φαντασία. Σκέφτηκε λοιπόν ως επόμενο τεράστιο αριθμό μια ‘μυριάδα μυριάδων από μυριάδες μυριάδων’, έστω x. Αυτό με σύγχρονη ορολογία είναι το 108 υψωμένο στην 108, οπότε προκύπτει ότι

x = 10 υψωμένο στον εκθέτη (8 επί 108).

Μετά σκέφτηκε τον αριθμό ‘μια μυριάδα μυριάδων αριθμών x’, έστω y. Αυτός προκύπτει όταν υψώσουμε τον x στην 108, οπότε προκύπτει ότι

y = 10 υψωμένο στον εκθέτη (8 επί 1016).

Τέλος σκέφτηκε τον αριθμό ‘μια μυριάδα μυριάδων αριθμών y’, έστω z. Αυτός προκύπτει όταν υψώσουμε τον y στην 108, οπότε προκύπτει ότι

z = 10 υψωμένο στον εκθέτη (8 επί 1064).

Ο παμμέγιστος αυτός αριθμός στον οποίο κατέληξε ο Αρχιμήδης είναι απείρως μεγαλύτερος από τον μεγαλύτερο δυνατό αριθμό πραγμάτων στη φύση, τον εκτιμούμενο αριθμό των στοιχειωδών σωματιδίων ολόκληρου του Σύμπαντος που σήμερα εκτιμάται ότι είναι 1080 (το 10 υψωμένο στην 80η). Είναι επίσης απείρως μεγαλύτερος και από τον επινοημένο αριθμό του μεγάλου μαθηματικού Edward Kasner 10100 (το 10 υψωμένο στην 100η) για χάρη του ανιψιού του Milton Sirotta, ο οποίος τον ονόμασε googol (σε αυτό το παιδιάστικο όνομα οφείλει την ονομασία της και η διάσημη μηχανή αναζήτησης google).

Θα κάνω μια προσπάθεια να σας δώσω να καταλάβετε το μέγεθος του αριθμού του Αρχιμήδη, του αριθμού 10 υψωμένου στην 8 επί 1064. Φανταστείτε το Σύμπαν του οποίου η ακτίνα εκτιμάται ότι είναι 46,5 δισεκατομμύρια έτη φωτός, η απόσταση δηλαδή που διανύει το φως μέσα σε 46,5 δισεκατομμύρια χρόνια. Αυτό σε μέτρα κάνει 5 επί 1026. Η επιφάνεια αυτής της κολοσσιαίας σφαίρας του Σύμπαντος προκύπτει ότι είναι 80 επί 1049 στρέμματα. Αυτό σημαίνει ότι η επιφάνεια της σφαίρας του Σύμπαντος χωρά περίπου 15 επί 1054 σελίδες Α4 ή ισοδύναμα περίπου 8 επί 1056 χαρακτήρες (γράμματα). Αλλά και πάλι ο εκθέτης του αριθμού του Αρχιμήδη είναι 100 εκατομμύρια φορές μεγαλύτερος. Αυτό σημαίνει ότι για να γράψετε τον αριθμό του Αρχιμήδη πρέπει να συνοδεύσετε το 1 με τόσα μηδενικά όσα γράμματα χωράνε οι εξωτερικές επιφάνειες 100 εκατομμυρίων συμπάντων σαν το δικό μας.

ΕΛΠΙΖΩ ΝΑ ΖΑΛΙΣΤΗΚΑΤΕ ΑΠΟ ΤΟ ΑΠΙΘΑΝΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΑΥΤΟΥ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ.

Ας επανέλθουμε όμως στον αντικειμενικό στόχο που είχε ο Αρχιμήδης, μέσω του ορισμού και της αναπαράστασης αυτών των γιγαντιαίων αριθμών. Ήθελε να εκτιμήσει πόσοι κόκκοι άμμου χωρούν μέσα σε όλο το Σύμπαν. Παίρνοντας ως βάση το ηλιοκεντρικό σύστημα του Αρίσταρχου του Σάμιου (ο Αρχιμήδης δηλαδή υποστήριζε την ηλιοκεντρική φύση του πλανητικού μας συστήματος 17 αιώνες πριν τη διστακτική δημοσίευση του Κοπέρνικου) εκτίμησε τον όγκο του Σύμπαντος. Στη συνέχεια από τον όγκο του Σύμπαντος εκτίμησε τον αριθμό κόκκων άμμου που χωρούν σε αυτόν, καταλήγοντας ότι είναι 1063. Με τους σύγχρονους υπολογισμούς 1063 κόκκοι άμμου ισοδυναμούν με 1080 στοιχειώδη σωμάτια σε όλο το Σύμπαν, πράγμα που αποτελεί όντως τη σύγχρονη εκτίμηση της αστροφυσικής για τον συνολικό αριθμό των στοιχειωδών σωματίων του Σύμπαντος.