Μαθηματικά παράδοξα

08-04-2015
 
Submit to FacebookSubmit to TwitterSubmit to Google PlusSubmit to StumbleuponSubmit to Delicious

Στα τέλη του 19ου αιώνα - αρχές 20ού, γίνονταν έντονες προσπάθειες από μαθηματικούς που είχαν και φιλοσοφική παιδεία να λύσουν ένα από τα μεγαλύτερα φιλοσοφικά ζητήματα, της αναγωγής των πάντων σε κάποιες βασικές αρχές, από τις οποίες να προκύπτουν στη συνέχεια όλες οι αληθείς προτάσεις. Πρόκειται για ένα ερευνητικό πρόγραμμα που τελικά έληξε άδοξα με την απόδειξη από τον Godel του θεωρήματος μη πληρότητας (incompleteness), ενώ μέχρι τότε υπήρχε διάχυτη η ελπίδα ότι όλα θα μπορούσαν να στηριχθούν σε κάποιες αυτονόητες λογικές αρχές (θεμελίωση των Μαθηματικών στη Λογική) ή σε κάποιες μαθηματικές προτάσεις (θεμελίωση της Λογικής στα Μαθηματικά). Κυρίαρχοι μαθηματικοί του πρώτου ρεύματος είναι οι Frege, Russell, Whitehead, Peano, Zermelo, Fraenkel και του μοναχικού δεύτερου ρεύματος ο Boole.

O κύριος εκφραστής της θεμελίωσης πάνω στη λογική ήταν ο Gottlob Frege (1848-1925). Και είχε μάλιστα βρει την βασική λογική έννοια πάνω στην οποία θα στήριζε το μαθηματικό οικοδόμημα. Ήταν η έννοια του συνόλου. Πράγματι όριζε τους φυσικούς αριθμούς ως πληθάριθμους συνόλων και στη συνέχεια πάνω στους φυσικούς αριθμούς όλους τους υπόλοιπους αριθμούς. Επίσης όριζε τη συνάρτηση ως μια διαδικασία που εφαρμόζεται στα στοιχεία ενός συνόλου με αποτέλεσμα να προκύπτουν τα στοιχεία ενός άλλου συνόλου. Χαρούμενος με την ευρηματικότητα του εγχειρήματός του, ήταν έτοιμος, το 1903, να εκδώσει το βιβλίο του, το οποίο για πρώτη φορά θα θεμελίωνε τα πάντα πάνω σε μια απλή και πανταχού παρούσα έννοια, αυτήν του συνόλου. Η χαρά του κόπηκε απότομα, όπως και στη συνέχεια κόπηκε και σε όποιον άλλο μαθηματικό ή φυσικό είχε πιστέψει ότι ανακάλυψε μια εξηγητική θεωρία των πάντων. Ήδη από το 1895 το παράδοξο των Burali - Forti σχετικά με τους πληθικούς και διατακτικούς αριθμούς και το 1899 το παράδοξο του Cantor σχετικά με την πληθικότητα του δυναμοσυνόλου ενός συνόλου είχαν σκιάσει τον ορίζοντα, αλλά περιέργως ο Frege δεν τα είχε πληροφορηθεί. Ήταν λίγο πριν την έκδοση του βιβλίου του, το 1903, που ο Frege έλαβε μια επιστολή από τον νεαρό Russell (1872-1970), όπου του εξέθετε μια πολύ απλή συλλογιστική, που έμεινε στην ιστορία ως παράδοξο του Russell. Ο Frege, ανοικτός και αμερόληπτος όπως ήταν (δυστυχώς μόνο στις επιστήμες γιατί στην πολιτική ήταν αμείλικτος διώκτης των Εβραίων), μόλις το άκουσε, κατέρρευσε ψυχικά, βλέποντας να γκρεμίζεται το οικοδόμημα μιας ολόκληρης ζωής. Τελικά εξέδωσε το έργο του, αλλά με τον εξής πρόλογο:

«Δεν υπάρχει μεγαλύτερη ατυχία που μπορεί να συμβεί σε ένα συγγραφέα επιστημονικού συγγράμματος, από αυτήν του να δει κάποιο από τα θεμέλια του οικοδομήματός του να τρέμει, μετά το τέλος της οικοδόμησης. Αυτή ήταν η θέση στην οποία περιήλθα μετά από ένα γράμμα του κ. Russell, ακριβώς τη στιγμή που το τύπωμα αυτού του τόμου ήταν κοντά στο τέλος του. Σχετίζεται με το αξίωμα V. Ποτέ δεν έκρυψα από τον εαυτό μου την έλλειψη προφάνειάς του, κάτι που συναντάται στα υπόλοιπα αξιώματα και που πρέπει καθαρά να απαιτείται από κάθε νόμο της λογικής».

Το αξίωμα V στο οποίο αναφέρεται είναι το εξής: «Κάθε ιδιότητα περιγράφεται από ένα σύνολο, αποτελούμενο ακριβώς από εκείνα τα αντικείμενα που ικανοποιούν την ιδιότητα».

Ποιο είναι όμως αυτό το περίφημο παράδοξο, που προκάλεσε το τέλος της επιστημονικής αισιοδοξίας και έσβησε το κρυφό όνειρο κάθε φιλόσοφου, την εξήγηση και θεμελίωση των πάντων, που ερχόταν και επανερχόταν ήδη από την εποχή του Leibniz;

Ας ορίσουμε ως κανονικό σύνολο κάθε σύνολο, το οποίο μπορεί να έχει οποιοδήποτε πράγμα ως στοιχείο του, εκτός όμως από τον ίδιο του τον εαυτό, και αντίστοιχα ως μη κανονικό σύνολο αυτό που περιέχει ως στοιχείο, μεταξύ άλλων, και τον ίδιο τον εαυτό του. Ας θεωρήσουμε τώρα το σύνολο ΟΛΩΝ των κανονικών συνόλων, έστω Ω. Ας εξετάσουμε τώρα αν το σύνολο Ω είναι κανονικό ή μη κανονικό.

Αν το Ω είναι κανονικό, τότε δεν μπορεί να περιέχει ως στοιχείο του το Ω, αλλά τότε δεν είναι σύνολο όλων των κανονικών συνόλων, εφόσον εξαιρείται από τα στοιχεία του ένα κανονικό σύνολο, το Ω. Συνεπώς άτοπο.

Αν το Ω είναι μη κανονικό, τότε έχει ως στοιχείο του τον εαυτό του, δηλαδή το Ω, αλλά τότε το Ω δεν είναι σύνολο μόνο των κανονικών συνόλων, καθώς περιέχει ως στοιχείο του και ένα μη κανονικό σύνολο, το Ω. Συνεπώς άτοπο.

Εφόσον λοιπόν το σύνολο Ω, δεν είναι ούτε κανονικό ούτε μη κανονικό, αυτό σημαίνει ότι η έννοια του συνόλου είναι αντιφατική και δεν είναι σωστό να χρησιμοποιείται ως βάση των μαθηματικών εννοιών.

Τι μπορεί να σημαίνει όμως αδυναμία ύπαρξης ενός συνόλου που να περιέχει τον εαυτό του; Σημαίνει το λάθος της αυτό-αναφοράς. Θυμίζει το παράδοξο του Επιμενίδη, την προβληματικότητα δηλαδή της φράσης ενός Κρητικού να λέει: «Είμαι Κρητικός και κάθε Κρητικός ψεύδεται, οπότε και εγώ ως Κρητικός ψεύδομαι». Αν όμως ψεύδεται ότι ψεύδεται τότε λέει αλήθεια, κι αν λέει αλήθεια ότι ψεύδεται τότε ψεύδεται και αν ψεύδεται ότι ψεύδεται τότε λέει αλήθεια κλπ, ερχόμενος συνεχώς σε αντίφαση με τα λεγόμενά του. Στο ίδιο πλαίσιο κινείται και το παράδοξο του Grelling (1908): Ένα επίθετο μιας γλώσσας ονομάζεται ομολογικό αν την ιδιότητα που εκφράζει την έχει και το ίδιο το επίθετο, αλλιώς λέγεται ετερολογικό. Με αυτή την έννοια το επίθετο ‘πολυσύλλαβος’ είναι ομολογικό, ενώ το επίθετο ‘ξανθός’ είναι ετερολογικό. Τι είναι όμως τότε το επίθετο ‘ετερολογικός’; Αν είναι ομολογικό, τότε είναι αυτό που εκφράζει και η ιδιότητά του, δηλαδή είναι ετερολογικό => άτοπο. Αν είναι ετερολογικό τότε δεν είναι αυτό που εκφράζει η ιδιότητά του, δηλαδή είναι ομολογικό => άτοπο.

Ήδη ο Cantor, το 1899, είχε αποδείξει και αυτός με μια άλλη αλληλουχία σκέψεων τη λογικά παράδοξη φύση του συνόλου ΟΛΩΝ των συνόλων. Για το σκοπό αυτό σας θυμίζω την έννοια του δυναμοσυνόλου P(A) ενός συνόλου Α.

Το δυναμοσύνολο P(A) ενός συνόλου Α ορίζεται ως το σύνολο όλων των υποσυνόλων του Α. Πχ. αν Α={1,2,3}, τότε P(A) = { κενό σύνολο, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3} }.

Όπως φαίνεται και από το παράδειγμα μας, το πλήθος των στοιχείων του δυναμοσυνόλου είναι πάντοτε μεγαλύτερο από το πλήθος των στοιχείων του συνόλου.

Ας θεωρήσουμε τώρα το σύνολο ΟΛΩΝ των συνόλων, έστω Χ, καθώς και το δυναμοσύνολο του P(Χ). Το πλήθος των στοιχείων του P(Χ) είναι μεγαλύτερο του πλήθους των στοιχείων του Χ. Είναι δυνατόν όμως να υπάρχει σύνολο του οποίου το πλήθος των στοιχείων του να είναι μεγαλύτερο από το πλήθος των στοιχείων του Χ, που είναι το σύνολο ΟΛΩΝ των συνόλων; Όχι βέβαια. Συνεπώς άτοπο.

Το οριστικό τέλος της ορθολογικής βεβαιότητας ήρθε το 1933. Τη χρονιά αυτή ο Godel, με το άρθρο του "On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems", ουσιαστικά απέδειξε το λεγόμενο θεώρημα της ‘μη πληρότητας’: ένα σύστημα μαθηματικών προτάσεων, ακόμη και αν είναι συνεπές, δεν είναι πλήρες, δηλαδή υπάρχει πάντα μια τουλάχιστον πρόταση αληθής που δεν μπορεί να αποδειχθεί. Οι συνέπειες αυτού του θεωρήματος είναι τρομακτικές. Το βασικό ορθολογικό ιδεώδες ότι εφόσον τεθούν τα κατάλληλα αξιώματα όλα μπορούν να αποδειχθούν δεν ισχύει. Αυτό που ισχύει είναι ότι οποιαδήποτε ομάδα αξιωμάτων (συνεπών μεταξύ τους) και αν τεθεί, είναι βέβαιο (αποδείχθηκε) ότι θα υπάρχει πάντοτε κάποια πρόταση αληθής η οποία όμως είναι αδύνατο να αποδειχθεί.